Калькулятор метода прогонки (метод Томаса)

Ввод данных
Решение
Пошаговое решение
Информация

Трёхдиагональная матрица и свободные члены

Нижняя диагональ (ai)

Главная диагональ (bi)

Верхняя диагональ (ci)

Вектор свободных членов (di)

Выполняется прогонка...

Результаты решения

Решение системы:

Проверка решения

Условия применимости

—

Невязка ‖Ax − d‖

—

Количество шагов

2n

Сложность алгоритма

O(n)

Прогоночные коэффициенты

Пошаговое решение методом прогонки

Шаг 1: Исходная система

Решаем систему уравнений с трёхдиагональной матрицей:

ai·xi−1 + bi·xi + ci·xi+1 = di

Шаг 2: Прямой ход (прогоночные коэффициенты)

Формулы прямого хода:

α1 = −c1/b1,    β1 = d1/b1
αi = −ci/(bi + ai·αi−1),    βi = (di − ai·βi−1)/(bi + ai·αi−1)

Шаг 3: Обратный ход (нахождение решения)

Формулы обратного хода:

xn = βn
xi = αi·xi+1 + βi

Шаг 4: Итоговое решение

О методе прогонки (метод Томаса)

Метод прогонки — эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей. Является частным случаем метода Гаусса и широко применяется при решении дифференциальных уравнений методом конечных разностей.

Формулировка задачи

Решаем систему вида:

ai·xi−1 + bi·xi + ci·xi+1 = di,   i = 1, 2, …, n

где a1 = 0, cn = 0 (граничные условия).

Условия применимости

Для корректной работы необходимо диагональное преобладание:

|bi| > |ai| + |ci| для всех i

При выполнении этого условия метод устойчив и сходится.

Преимущества:
• Высокая эффективность O(n)
• Малый объём памяти
• Простота реализации
Недостатки:
• Только для трёхдиагональных матриц
• Требует диагонального преобладания
Области применения:
• Решение ДУ методом МКР
• Расчёт температурных полей
• Диффузионные процессы